Excitation of Faraday-like Body Waves in Vibrated Living Earthworms

Иконка: Аннотация Ivan S. Maksymov, Andrey Pototsky

Then, we neglect viscoelastic damping and obtain a linear model of parametrically excited subharmonic body waves in an elastic fluid-filled cylinder. We follow the approach developed for subharmonic vibrations of a water drop placed on an oscillating solid plate30, where natural vibration frequencies of a cylinder squashed by gravity are considered [Fig. 5(left)]. The degree of squashing is characterised by the indentation depth δ
that, in turn, is proportional to the gravity acceleration g

. In the co-moving frame of the vibrating plate, the gravity is time-dependent. This means that the effect of the vibration is equivalent to periodically varying the squashing of the cylinder. Therefore, in the linear regime, natural frequencies of the squashed cylinder are periodically modulated, thereby leading to a parametric type of forcing.

To the best of our knowledge, the analysis of the vibrational frequencies of a cylinder supported by a solid plate along its entire length has not been reported. (Although Faraday instability of a horizontal water-filled half-cylinder subjected to vertical vibrations was investigated in a recent work55, the model presented there cannot be applied in our case because it does not consider mechanical properties of the earthworm skin). Therefore, we estimate the order of magnitude of the natural frequencies by using the well-known result for a cylinder with freely supported ends62,63,64, as demonstrated below. A comprehensive review of the linear and nonlinear vibration and instabilities of cylindrical shells and plates can be found in refs. 47,65,66.

In cylindrical coordinates, the axial u(r,θ)
, azimuthal v(r,θ) and radial w(r,θ) displacements of the shell of a cylinder with freely supported ends can be written as
uvw===U(t)cos(πmz/L)cos(nθ),V(t)sin(πmz/L)sin(nθ),W(t)sin(πmz/L)cos(nθ),uvw===U(t)cos(πmz/L)cos(nθ),V(t)sin(πmz/L)sin(nθ),W(t)sin(πmz/L)cos(nθ),
(2)

where the integers n
and m

determine the circumferential and the axial vibration modes, respectively. As a representative example, in Fig. 5(right) we show the first three lowest frequency modes.

For δ/R≪1
, the deviation of vibrational frequencies from those of a circular cylinder is of first order in δ/R67. This allows us to write the equations of motion for the amplitudes U,V,W

as
x¨≈(J0+δRJ1)x,
(3)

where x=(U,V,W)
, J0 is the Jacobi matrix corresponding to the circular cylinder and J1 is its first order correction due to squashing. When the solid plate is vibrated with the frequency ω, its vertical displacement is given by Acos(ωt), where A is the vibrational amplitude. The gravity acceleration in the co-moving frame of reference is g(t)=g[1+acos(ωt)], where a=Aω2/g is the dimensionless scaled amplitude. Since viscosity is neglected, we anticipate the onset of the subharmonic vibrations at small amplitude a≪1. In this regime, we obtain from Eq. (1) for the time-dependent squashing δ/R≈ρgR23Eh−−−−√(1+a2cos(ωt))

. In this limit, Eq. (3) reduces to the three-dimensional Mathieu equation
x¨=(J0,+,ρgR23Eh−−−−−√,J1,+,q,,cos,,(,2,π,f,),J1)x,
(4)

where q=a2ρgR23Eh−−−−√

is the scaled vibration amplitude.

We emphasise that the linear model Eq. (4) can only be used for qualitative estimations of generally nonlinear subharmonic response. Discrepancies with experimental results obtained for real earthworms can be due to viscoelastic damping, nonlinear deformation and twisting of the worm body, as well as due to the assumption of a thin wall elastic cylinder filled with Newtonian fluid used in the model.

The properties of solutions of Eq. (4) are well-known68. Parametrically excited instability sets in when 2πf coincides with one of the combination frequencies |(ω0)i±(ω0)k|
, where (ω0)2i (i=1,2,3) are the eigenvalues of −(J0+ρgR23Eh−−−−√J1). Because ρgR23Eh−−−−√∼0.04 for E=1 MPa, we can neglect the term ρgR23Eh−−−−√J1 in Eq. (4) as compared with J0, which implies that the natural frequencies (ω0)i

of the gravity squashed worm can be approximated by those of a circular elastic cylinder.

Amongst the three frequencies (ω0)i
(i=1,2,3) one is typically two orders of magnitude lower than the other two. This lowest frequency ω0

corresponds to the mode with predominantly radial displacement and is given by64
ω20R2ρE=(h2(λ2m+n2)212R2(1−ν2)+λ4m(λ2m+n2)2)(1+aρlIn(λm)λmhρ(In)′(λm))−1,
(5)

where λm=mπR/L

and In is the modified Bessel function of the first kind of order n.

Considered as a whole, the combination ω0RρE−−√
in Eq. (5) (called the frequency factor) depends on the geometry of the cylinder, the Poisson ratio ν and the ratio of the densities ρl/ρ, but is independent of the Young’s modulus E. In Fig. 6(a), we plot the frequency factor as a function of the axial mode number m for different values of n for a cylinder of length L=10 cm, shell thickness h = 50 μm, radius R=5 mm, filled with a fluid with density ρl=ρ=1100 kg/m3. The first three lowest frequency modes with (n=1,m=1), (n=2,m=2) and (n=2,m=1)

are shown in the right panel of Fig. 5 for the sake of illustration.
Картинка: Возбуждение фарадеевских телесных волн

Analysis of experimental results in light of the predictions of the developed theoretical model. By scanning through all theoretically possible combinations of vibration modes and varying the value of the effective Young’s modulus of the worm, we find the modes involved in the subharmonic response of the worm and plot the respective spatial mode profiles. (a) Frequency factor ω0Rρ/E−−−−√ plotted as a function of the axial mode number m for the circular elastic cylinder filled with liquid with density ρl. The other parameters are R=5 mm, L=10 cm, ρ=ρl=1100 kg/m3, ν=0.5 and h=50 μm. The circumferential mode number n is indicated next to each curve. The two solid horizontal lines correspond to the levels of 38πRρ/E−−−−√ and 43πRρ/E−−−−√ with E=8.3 MPa. For E=8.3 MPa, the mode (n=3,m=3) is excited at 38 Hz and the mode (n=2,m=3) is excited at 43 Hz. The frequencies 38 Hz and 43 Hz correspond to the first and the second minimum of the critical vibration amplitude function in Fig. 4. (b) The number of modes N that match the subharmonic resonance criterion as a function of E (see the main text for details). From this panel we obtain information about the largest possible values of the Young’s modulus corresponding to the modes at 38 Hz and 43 Hz.

Иконка: К содержанию

Discussion

The presented theoretical model can, in general, be used to find the mode profiles corresponding to the resonance frequencies found in the experiment in Fig. 4 by using experimental data for the Young’s modulus E of earthworms as a key input parameter. However, plausible values of E

for different worm species are a subject of active debate due to a large range of the reported values and poor understanding of the impact of the cuticle on mechanical properties of worms53,60.

To circumvent the lack of experimental data, we reanalyse our experimental results in Fig. 4 in light of the predictions of the developed model Eqs. (4 and 5). In particular, we establish which of the theoretically possible vibrational modes could be excited at a given value of E
. Here, we vary the value of E in a range bounded by two critical values – the effective bulk Young’s modulus of the worm from ref. 53 and the locally measured stiffness of the cuticle60,61. Whereas the exact values of E are yet to be confirmed experimentally, it has already been established that E

would be a function of the thickness of the cuticle60 and that it would approach 200…400 MPa61 in a limiting case of the mechanical properties of the worm defined solely by the cuticle.

Naturally, the thickness and stiffness of the cuticle vary for different species of worms and they are also likely to vary from one animal to another within the same species group. Indeed, in our experiments we established that Eisenia fetida earthworms appear to be slightly stiffer when palpated as compared with the other species tested in this work. However, this difference alone cannot result in an order of magnitude discrepancy in the values of E

.
Иконка: К содержанию

Ivan S. Maksymov, Andrey Pototsky. Excitation of Faraday-like Body Waves in Vibrated Living Earthworms. Page 1     2     3    4    5

Арсен Мартиросян. За что убили Сталина

Окончание К началу
   В связи с вышеуказанными обстоятельствами покупательская способность рубля стала выше его официального курса.
   Всего украденное указанным выше образом золото составляет более 610 тонн. Так что яростное нежелание отдавать сворованное золото, тем более в таких количествах — более чем серьезный мотив для убийства Сталина. Особенно, когда стало известно о том, что он начал проводить операции Крест и Могила.
Сталинский общий рынок
   А чем не мотив для убийства Сталина, который обнаружил один из исследователей сталинской эпохи Алексей Чичкин, опубликовавший свое открытие в труде Забытая идея без срока давности. По его данным, в апреле 1952 в Москве состоялось международное экономическое совещание, на котором СССР, страны Восточной Европы и Китай предложили создать зону торговли, альтернативную долларовой. Причем громадный интерес к этому плану проявили также и другие страны: Иран, Эфиопия, Аргентина, Мексика, Уругвай, Австрия, Швеция Финляндия, Ирландия, Исландия.
   На совещании Сталин предложил создать свой общий рынок. Более того. На совещании была озвучена также и идея введения межгосударственной расчетной валюты. Учитывая же, что инициатором замысла создания альтернативного долларовой зоне торговли фактически трансконтинентального общего рынка был Советский Союз, то и межгосударственной расчетной валютой в таком «общем рынке» все шансы имел стать именно советский рубль, определение курса которого за два года до этого было переведено на золотую основу.
   Чтобы современному читателю было понятней, позволю себе напомнить, как США реагируют всего лишь на гипотетическую мысль о возможности создания газового аналога ОПЕК во главе с Россией. При одной только тени намека на эту идею янки уже впадают в ярость и недвусмысленно грозят весьма суровыми санкциями, не стесняясь намекать даже и на применение силы.
   Можете себе представить, как психанули янки, когда известие об этом совещании и тех идеях, которые на нем прозвучали, докатилось до Вашингтона?! Вот то-то и оно… Ведь тогда ситуация была во многом более благоприятная для Советского Союза, чем ныне для современной России. Одно только имя Сталина враз остужало самые горячие на Западе головы — с генералиссимусом шутки и фокусы не проходили. Более того, могли закончиться очень даже плачевно для тех, кто посмел бы пошутить с Советским Союзом во главе со Сталиным!
   Посмотрите на хронологию событий. В апреле 1952 было проведено международное экономическое совещание, озвученные идеи на котором вызвали широкий отклик фактически на всех континентах мира. Не прошло и года, как Сталин был убит…
   Наконец, четвертый мотив. Никто в мире не ожидал, что после такой крайне разрушительной войны Советский Союз восстановит свою экономику в кратчайшие сроки. Фактически к началу 1948 восстановительный этап был завершен, что, кстати говоря, позволило не только осуществить денежную реформу, но и одновременно с ней произвести отмену карточной системы.
   Для сравнения. Великобритания, которая пострадала в войне несоизмеримо меньше, еще в начале 1950-х не могла себе позволить отказаться от карточной системы распределения продуктов питания.
   Вообще надо отметить, что первая же послевоенная пятилетка, несмотря на все трудности этого периода, побила буквально все рекорды. Сравните! Если в самой первой советской пятилетке новое предприятие входило в строй каждые двадцать девять часов, во второй — каждые десять часов, а в третьей, не завершенной из-за начала войны — каждые семь часов, то в послевоенной — каждые шесть часов!
   Бурные темпы роста советской экономики не остались незамеченными на Западе. Уже в начале 1950-х Запад стал сходить с ума по этому поводу. И если англичане, например, в основном ограничивались тревожной констатацией факта — Россия переживает чрезвычайно бурный экономический рост, то янки с присущей им прямолинейностью делали вывод: Советский экономический вызов реален и опасен.
   В том же 1953 американский журнал Нейшнл бизнес в статье Русские догоняют нас… отмечал, что по темпам роста экономической мощи СССР опережает любую страну. Более того, темп роста в СССР в два-три раза выше, чем в США. Еще более того. Кандидат в президенты США Стивенсон во всеуслышание заявил, что если темпы роста производства в сталинской России сохранятся, то к 1970 объем русского производства в три-четыре раза превзойдет американский. И если это произойдет, то последствия для западных стран, прежде всего для США, будут более чем катастрофичными.
Угроза Западу
   В этой связи хотелось бы напомнить об одной из наиглавнейших причин прихода Гитлера к власти и развязыванию II Мировой войны. Дело в том, что привод Гитлера к власти был обусловлен не только, а возможно, даже и не столько геополитическими, политическими и идеологическими причинами, сколько имевшими колоссальнейшее значение экономическими.
   До 1932 включительно в мире было четыре крупных промышленных района: Пенсильвания в США, Бирмингем в Великобритании, Рур в Германии и Донецкий в Советском Союзе. В конце первой пятилетки к ним добавились Днепровский и Урало-Кузнецкий.
   Сколько бы не ругали за всякие перегибы первую пятилетку, но именно она стала причиной тектонического сдвига в расстановке глобальных экономических сил. А, следовательно, обозначила и такой же по своей сути тектонический сдвиг в расстановке мировых геополитических сил. Ведь в мире стало не просто шесть промышленных районов. Просто шесть Запад бы как-нибудь да перенес. Ему стало невыносимо тяжело по иной причине. До 1932 три четверти промышленных районов мирового значения дислоцировались на Западе. С конца 1932-го ровно половина индустриальных районов мирового уровня уже находилась на территории СССР!
   Казалось бы, до последней нитки ограбленная и едва ли не до потери пульса ослабленная страна, в течение всего-то пяти лет, преимущественно собственными силами не только свергла абсолютное и также, казалось бы, незыблемое превосходство Запада с пьедестала мирового экономического Олимпа, но и принципиально сравнялась с ним.
   А ведь не являлось секретом, что в ранее неосвоенных регионах Советского Союза в ближайшем же будущем должны были появиться еще несколько крупных промышленных районов мирового уровня. Более чем одна треть самого крупного материка — Евразии — оказалась гигантской площадкой для создания, развития и успешной работы крупного индустриального производства. Ранее практически не тронутые богатства ее центральной части оказались не только доступны к разработке и использованию, но и попросту интенсивно вовлекались в активный хозяйственный оборот.
   Дотоле всего лишь географически, в основном через железнодорожный транспорт, потенциал геополитической силы Советского Союза стал стремительно наполняться небывалой и неведомой Западу экономической мощью, трансформация которой также и во внушительную военную мощь было делом небольшого времени да, как говорится, и техники.
   Подлинные властители Запада превосходно владели базисными принципами экономики. Потому прекрасно поняли, что столь быстро достигнутое фантастическое количество еще более быстрыми темпами трансформируется в фантастическое качество, что Западу и впрямь придется «выносить всех святых» и сдаваться на милость созидающегося социализма. И ведь ни на йоту не ошиблись.
   Вот почему Запад и свернул им же устроенный мировой кризис, прозванный великой депрессией. Дальнейшее его затягивание было уже опасно для самого Запада. И одновременно Гитлера привели к власти на рубеже завершения первой — начала второй пятилетки.
   Именно Гитлер как фактор войны должен был прервать поступательное развитие ненавистной Западу России, пускай и называвшейся тогда Советским Союзом. По тем временам Запад ничего иного выдумать не мог.
   После войны вообще сложилась крайне встревожившая Запад ситуация. Образовалась система стран народной демократии, куда вошел и мировой демографический гигант Китай. То есть в руках выбравших социалистические ориентиры развития стран оказались сосредоточены гигантские ресурсы, которые при содействии Советского Союза могли были быть вовлечены в хозяйственный оборот, что в свою очередь привело бы едва ли не к полному падению экономического, а следовательно, и политического значения Запада.
   Естественно, что на Западе задумались о том, как ликвидировать такую угрозу своему бытию. Проще говоря, агрессивная сущность в очередной раз взяла верх. Однако после войны силовой вариант решения проблемы уже был непригоден. Советский Союз убедительно продемонстрировал все свои преимущества и одержал невиданную в Истории Победу.
   Более того, уже на мирном фронте СССР показал вообще невероятные темпы развития, в результате чего довоенный уровень был достигнут всего-то за два года. Соответственно, вновь прибегнуть к войне, чтобы прервать развитие СССР уже было невозможно. Тем более что в отличие от предвоенной ситуации, у Советского Союза теперь имелись союзники как на Западе, так и на Востоке.
   Конечно, это вовсе не означает перерождение Запада из Савла в Павла. Не та эта публика, чтобы руководствоваться мирными соображениями. Напротив, Запад, особенно США, наплодили тьму-тьмущую всевозможных планов нападения на СССР после войны. Но вот реализовать их попросту не смогли. Вначале потому, что никто в мире и не понял бы Запад, если он посмел бы поднять руку на главного победителя во Второй Мировой войне.
   Сейчас делают вид, что Америка да Англия внесли какой-то вклад в разгром нацизма. А тогда люди всего мира прекрасно знали, что если бы не Красная Армия и не Сталин, то быть бы всем в коричневом рабстве, в том числе и такой сволочи, как англосаксы, которых, в частности англичан, гитлеровцы даже планировали выселить с британских островов.
   А чуть позже Запад не мог сделать этого уже по той простой причине, что СССР овладел секретами атомного оружия, и разговаривать с ним на языке силы было бы просто бесполезно, что наглядно показала война на Корейском полуострове. Со Сталиным такие номера не проходили. Генералиссимус мог так ответить, что Запад перевернулся бы вверх тормашками.
   Некоторые известные деятели телевизионных искусств продолжают утверждать, что Сталина, якобы с испугу, уничтожил Берия. Подлая ложь! Берия, конечно же, тут ни причем. Тут надо искать руку Запада. Потому как при ясном осознании того факта, что языком Марса со Сталиным лучше не разговаривать, тем более после 1949 года, когда СССР стал атомной державой, Запад, по настоящему испугался перспектив реального в скором времени экономического и политического доминирования СССР (тем более во главе целой системы стран народной демократии). Ведь темпы роста в два-три раза превышали американские. В сочетании же с мотивами, которые были указаны выше, именно это и послужило основанием для принятия решения об устранении Сталина самым подлым, самым коварным, но столь характерным для Запада образом: убийством!
   Остается лишь только догадываться, каким образом Западу удалось не столько войти в контакт с такими негодяями как Хрущёв и К°, сколько достичь взаимопонимания и тем более договориться с ними. Впрочем, и тут особой сложности не возникнет, если внимательно и тщательно все проанализировать, но это, к сожалению, выходит далеко за рамки настоящей статьи. Это предмет для отдельного исследования.
Текст публикуется по Конт
Картинка: К началу   Картинка: up